关于一个向量与一个余向量的模不变量

设 $SL_{2}(F_{q})$ 为有限域 $F_{q}$ 上的特殊线性群，$V$ 为 $SL_{2}(F_{q})$ 的 2 维自然表示，$V^{\ast}$ 为其对偶表示。我们将 $SL_{2}(F_{q})$ 对应的一个向量与一个余向量的不变量环记为 $F_{q}[V\oplus V^{\ast}]^{SL_{2}(F_{q})}$。在本文中，我们在 $F_{q}[V\oplus V^{\ast}]^{SL_{2}(F_{q})}$ 的某个齐次参数系上构造了一个自由模基。我们计算了 $F_{q}[V\oplus V^{\ast}]^{SL_{2}(F_{q})}$ 的 Hilbert 级数，并证明其为 Gorenstein 代数。作为一个应用，我们证实了 Bonnafe 和 Kemper 于 2011 年提出的近期猜想的一个特例。