一般二维交换代数的多项式不变量与模

设 $V$ 为特征不为 $2$ 或 $3$ 的域 $\mathbb F$ 上的二维向量空间。我们证明存在一个典范满射 $\nu$，从 $V$ 上适当一般化的交换代数结构模 $GL(V)$ 作用后的集合映射到平面 $\mathbb F^2$。在这些坐标（即不变四次多项式的商）下，结合律和零因子的存在性等性质由简单的代数条件描述。映射 $\nu$ 在退化椭圆曲线 $\Gamma$ 的补集上是双射，而在 $\Gamma$ 上，我们用 $\mathbb F$ 的伽罗瓦扩张给出了纤维的显式参数化。$\nu^{-1}(\Gamma)$ 中的代数恰好是那些容许非平凡自同构的代数。我们展示了 $\nu$ 如何被提升为从 $SL(V)$ 模空间到四维向量空间中代数超曲面 $\Gamma'$ 的映射，其方程本质上是二元三次多项式的协变量的经典爱森斯坦方程。该映射是从 $V$ 上稳定交换代数模 $SL(V)$ 作用后的集合到 $\Gamma'$ 的满射的限定。