形式伪微分算子代数的不变量与代数模形式

我们从代数观点研究将交换整环 $R$ 上的群 $\Gamma$ 作用扩展到以 $R$ 为系数的形式伪微分算子环 $B=R(\! (x\,;\,d)\!)$ 以及 $B$ 的某个典范二次扩张 $C=R(\! (x^{1/2}\,;\,\frac 12 d)\!)_2$ 的问题。我们给出了此类扩张存在时该作用与 $R$ 的导子 $d$ 之间相容性的充要条件，并确定了作用到 $B$ 和 $C$ 上的所有可能扩张。在适当假设下，我们将不变子代数 $B^\Gamma$ 和 $C^\Gamma$ 描述为以 $R^\Gamma$ 为系数的洛朗级数环。这一一般性研究的主要结果被应用于数论背景，其中 $\Gamma$ 是 ${\rm SL}(2,\C)$ 的子群，通过分式线性变换作用于一个单复变量函数代数 $R$。记 $M_j$ 为 $R$ 中权为 $j$（偶或奇）的代数模形式向量空间，我们对任意非负整数 $k$ 构建了 $C^\Gamma$ 中阶 $\geq k$ 的不变算子子空间 $C_k^\Gamma$ 与乘积空间 $\mathcal{M}_k=\prod_{j\geq k}M_j$ 之间的线性同构，后者可等同于一个权为 $k$ 的代数 Jacobi 形式空间。由此特别地得到 $\mathcal M_0$ 上的非交换代数结构以及一个代数同构 $\Psi:\mathcal M_0\to C_0^\Gamma$，其中对偶权情形的限制此前已在文献中为人所知。我们结合算术论证与本文第一部分代数结果的使用来研究这一对应关系的性质。