$\mathbb{Z}$ 及其他非 $C^*$-单群的作用的非阿贝尔因子

设 $\Gamma$ 为可数群，$(X, \Gamma)$ 为紧拓扑动力系统。我们研究是否存在中间 $C^*$-子代数 $\mathcal{A}$ $$C^{*}_{r}(\Gamma)<\mathcal{A}<C(X)\rtimes_r\Gamma,$$ 其不具有 $\mathcal{A} = C(Y) \rtimes_r \Gamma$ 的形式，即对应于因子映射 $(X,\Gamma) \to (Y,\Gamma)$。此处 $C^{*}_{r} (\Gamma)$ 与 $C(X) \rtimes_r \Gamma$ 分别为 $\Gamma$ 与 $(X,\Gamma)$ 的约化 $C^*$-代数。我们的主要结果是：（1）对于非 $C^*$-单的 $\Gamma$，若 $(X,\Gamma)$ 容许一个 $\Gamma$-不变概率测度，则这样的子代数总存在。（2）对于 $\Gamma = \mathbb{Z}$ 且 $(X, \Gamma)$ 为圆周 $X = S^1$ 的无理旋转，我们给出了所有这类非叉积子代数的完整刻画。