自由变换群$C^*$-代数中的奇异理想

设$\Gamma$为通过同胚在紧Hausdorff空间$X$上自由作用的离散群，并令$C(X) \rtimes_\eta \Gamma$为卷积代数$C_c(\Gamma,C(X))$关于$C^*$-范数$\eta$的完备化。非零理想$J \unlhd C(X) \rtimes_\eta \Gamma$若满足$J \cap C(X) = \{0\}$则称为奇异的。我们证明，只要$\Gamma$非顺从且在$X$上存在不变概率测度，就会出现奇异理想。这一事实结合近期奇异交叉积函子的理论，使我们能够回答K. Thomsen的两个问题。利用Koopman表示和Elek近期的一个定理，我们证明当$\Gamma$是具有性质(T)的可数无限群且$X$为Cantor集时，存在$\Gamma$在$X$上的自由极小作用以及$C_c(\Gamma, C(X))$上的$C^*$-范数$\eta$，使得$C(X)\rtimes_\eta\Gamma$包含紧算子作为一个奇异理想。我们用此例对A. Katavolos和V. Paulsen的一个问题给出肯定回答。在$C(X)\rtimes_\eta \Gamma$中的不透明理想与灰色理想同$C(X)$交于平凡，且arXiv:1901.09683中的结果表明当$\Gamma$的作用自由时二者重合，然而这些理想能否非零的问题一直未解决。我们给出一个$\Gamma$在紧Hausdorff空间$X$上自由作用的例子以及相应的$C^*$-范数$\eta$，使得这些理想非平凡，特别地，它们是奇异理想。