实秩一单李群的外来群$C^*$-代数

外来群$C^*$-代数是位于局部紧群的全群$C^*$-代数与约化群$C^*$-代数之间的$C^*$-代数。我们考虑实秩一的单李群$G$，并研究其外来群$C^{*}$-代数$C^*_{L^{p+}}(G)$，这些代数通过酉表示的矩阵系数的$L^p$可积性性质来定义。首先，我们证明不可约酉$L^{p+}$-表示的等价类之集合构成这些群的酉对偶的一个闭理想。该结果对具有Kunze-Stein性质的群更为一般地成立。其次，对每一个实秩一的经典单李群$G$以及每一对$2 \leq q < p \leq \infty$，我们判定典范商映射$C^*_{L^{p+}}(G) \twoheadrightarrow C^*_{L^{q+}}(G)$是否具有非平凡核。我们的结果以不同方法推广了Samei与Wiersma近期关于$\mathrm{SO}_{0}(n,1)$与$\mathrm{SU}(n,1)$的外来群$C^*$-代数的结果。特别地，我们的方法也适用于具有性质(T)的群。