完全可解李群的$C^*$-代数是可解的

我们证明，如果一个连通单连通李群$G$具有连通闭正规子群$G_1\subseteq G_2\subseteq \cdots \subseteq G_m=G$且满足$\dim G_j=j$（$j=1,\dots,m$），则其群$C^*$-代数存在闭双边理想$\{0\}=\mathcal{J}_0\subseteq \mathcal{J}_1\subseteq\cdots\subseteq\mathcal{J}_n=C^*(G)$，使得对于适当的局部紧Hausdorff空间$\Gamma_j$和可分离复Hilbert空间$\mathcal{H}_j$，有$\mathcal{J}_j/\mathcal{J}_{j-1}\simeq \mathcal{C}_0(\Gamma_j,\mathcal{K}(\mathcal{H}_j))$，其中$\mathcal{C}_0(\Gamma_j,\cdot)$表示$\Gamma_j$上在无穷远处消失的连续映射，$\mathcal{K}(\mathcal{H}_j)$是$\mathcal{H}_j$上的紧算子$C^*$-代数（$j=1,\dots,n$）。