丰富群胚 $C^*$-代数的理想结构与纯无限性

在本文中，我们研究了与 étale 群胚 $G$ 相关的约化 $C^*$-代数 $C^*_r(G)$ 的理想结构。特别地，我们刻画了 $C_r^*(G)$ 中的闭双边理想与 $G$ 的单位空间 $G^{(0)}$ 的开不变子集之间何时存在一一对应。作为结果，我们证明如果 $G$ 是一个内精确、本质主、丰富群胚，则 $C_r^*(G)$ 是（强）纯无限的当且仅当 $C_0(G^{(0)})$ 中的每个非零投影在 $C_r^*(G)$ 中是适当无限的。我们还建立了丰富群胚 $G$ 的一个充分条件，通过单位空间 $G^{(0)}$ 的紧开子集的悖论性来确保 $C_r^*(G)$ 的纯无限性。最后，我们引入了丰富群胚的类型半群，并得到一个二分法结果：设 $G$ 是一个具有紧单位空间且极小、拓扑主的丰富群胚。如果类型半群几乎无穿孔，则 $C_r^*(G)$ 是一个单 $C^*$-代数，它要么是稳定有限的，要么是强纯无限的。