C*-代数酉群的李理论方法

遵循 Robert's [26]，我们研究酉群和单位 $C^*$-代数的近似内自同构群的结构，利用前者是 Banach-Lie 群。给定单位 $C^*$-代数 $A$，我们描述酉群单位元连通分支（记为 $U_A$）的闭正规子群结构，以及由酉群单位元连通分支诱导的近似内自同构子群（记为 $V_A$）的闭正规子群结构，用完美理想（即不容许任何特征标的理想）表示。当单位代数是局部 AF 时，我们展示 $V_A$ 的闭正规子群与代数的完美理想之间存在一一对应，在可分情形下可使用 Bratteli 图方便描述；特别表明 $V_A$ 的每个闭正规子群都是完美的。我们还刻画了使得 $U_A$ 或 $V_A$ 为拓扑单的单位 $C^*$-代数 $A$，推广了 [26] 的主要结果。反之，在某些条件下，我们用酉群结构刻画代数的单性。这尤其适用于离散群的约化群 $C^*$-代数，我们表明当 $A$ 是非顺从可数离散群的约化群 $C^*$-代数时，$A$ 是单的当且仅当 $U_A/\mathbb{T}$ 是拓扑单的。