作用在树上的局部紧群的分组 $C^*$-代数

我们研究局部紧群 $G$ 作用在度数足够大的（半）齐次树上的群 $C^*$-代数 $C^*_{L^{p+}}(G)$——其由酉表示矩阵系数的 $L^p$ 可积性性质构造而来。这些群 $C^*$-代数位于泛群 $C^*$-代数与约化群 $C^*$-代数之间。通过直接考察这些 $L^p$ 可积性性质，我们首先证明：对于（半）齐次树 $T$ 的自同构群 $\mathrm{Aut}(T)$ 的任意非紧闭子群 $G$，若其传递作用于边界 $\partial T$，且任意 $2 \leq q < p \leq \infty$，则典范商映射 $C^*_{L^{p+}}(G) \twoheadrightarrow C^*_{L^{q+}}(G)$ 非单射。这重证了 Samei 与 Wiersma 的一个结果。我们证明，在附加假设 $G$ 传递作用于 $T$ 且具有 Tits 独立性性质下，群 $C^*$-代数 $C^*_{L^{p+}}(G)$ 是源自 Fourier-Stieltjes 代数 $B(G)$ 中 $G$-不变理想的唯一此类群 $C^*$-代数。此外我们表明，给定如前群 $G$，任一与其泛群 $C^*$-代数可区分（作为群 $C^*$-代数）且其对偶空间 $C^*_\mu(G)^*$ 为 $B(G)$ 中 $G$-不变理想的群 $C^*$-代数 $C^*_{\mu}(G)$ 抽象 ${}^*$-同构于 $G$ 的约化群 $C^*$-代数。