局部紧群与 C*-代数的性质 (T)

设 $G$ 为局部紧群，并设 $C^*(G)$ 和 $C^*_r(G)$ 分别为 $G$ 的全群 $C^*$-代数和约化群 $C^*$-代数。我们研究了 $G$ 的性质 $(T)$ 与 $C^*(G)$ 及 $C^*_r(G)$ 的性质 $(T)$ 及其强版本之间的关系。我们证明 $G$ 具有性质 $(T)$ 当且仅当 $C^*(G)$ 具有性质 $(T)$。在 $G$ 是局部紧 IN-群的情况下，我们证明 $G$ 具有性质 $(T)$ 当且仅当 $C^*_r(G)$ 具有强性质 $(T)$。我们还证明，对于每个 $C^*_r(G)$ 是核的且非顺从的局部紧群 $G$，其 $C^*_r(G)$ 都具有强性质 $(T)$。这些群中的一部分（例如 $G=SL_2(\mathbf{R})$）并不具有性质 $T$。