源于群在三角建筑边界上作用的 $C^*$-代数

顺从群的子群是顺从的。这一事实的 $C^*$-代数版本是不成立的。这首先由 M.-D. Choi 证明，他证明了非核 $C^*$-代数 $C^*_r(\ZZ_2*\ZZ_3)$ 是核 Cuntz 代数 ${\cal O}_2$ 的子代数。A. Connes 基于交叉积构造提供了另一个例子。最近，J. Spielberg [23] 表明这些例子本质上是相同的。事实上，他证明了 J. Cuntz 和 W. Krieger [10] 研究的某些 $C^*$-代数可以自然地构造为交叉积代数。例如，如果群 $\Gamma$ 简单传递地作用于一个有限度齐次树及其边界 $\Omega$ 上，那么 $\cross$ 就是一个 Cuntz-Krieger 代数。这样的树可以看作是 $\widetilde A_1$ 型仿射建筑。本文致力于研究类似的情形，即群 $\G$ 简单传递地作用于 $\widetilde A_2$ 型仿射建筑的顶点及其边界 $\O$ 上。相应的交叉积代数 $\cross$ 由两个 Cuntz-Krieger 代数生成。此外，我们证明了 $\cross$ 是单的且是核的。这是 $\G$ 在 $\O$ 上的作用是极小的、拓扑自由的且顺从的这一事实的推论。