三角形几何的边界 $C^*$-代数

设 $\Delta$ 为一个类型为 $\widetilde A_2$ 且阶为 $q$ 的 Building，其最大边界为 $\Omega$。设 $\Gamma$ 为 $\Delta$ 的一个保型自同构群，其在 $\Delta$ 的室上正则作用。则 crossed product $C^*$-代数 $C(\Omega) \rtimes \Gamma$ 同构于 $M_{3(q+1)} \otimes\cl O_{q^2}\otimes\cl O_{q^2}$，其中 $\cl O_n$ 表示由 $n$ 个等距算子生成的 Cuntz 代数，这些等距算子的值域投影之和为单位算子。