一类图 C*-代数在量子对称性上的刚性

近年来，图 $C^{*}$-代数的量子对称性已在多种不同表述下得到研究。已知对于有限、连通、有向图 $\Gamma$，紧量子群 $(\underbrace{C(S^{1})*C(S^{1})*\cdots *C(S^{1})}_{|E(\Gamma)|-times}, \Delta)$ 总在 Joardar 与 Mandal 引入的范畴内作用于其图 $C^*$-代数，其中 $|E(\Gamma)|:=$ 图 $\Gamma$ 中的边数。在本文中，我们证明对于包含 Toeplitz 代数、量子奇球面、矩阵代数等在内的一类图，其关联图 $C^*$-代数的量子对称性在上述范畴中仍为 $(\underbrace{C(S^{1})*C(S^{1})*\cdots *C(S^{1})}_{|E(\Gamma)|-times}, \Delta)$。更确切地说，若有限、连通、有向图 $\Gamma$ 满足如下图论性质：(i) 不存在长度 $\geq$ 2 的圈；(ii) 存在一条长度为 $(|V(\Gamma)|-1)$ 且包含所有顶点的路径，其中 $|V(\Gamma)|:=$ 图 $\Gamma$ 中的顶点数；(iii) 任意给定两个顶点（可相同）之间至多有一条边相连，则泛对象与 $(\underbrace{C(S^{1})*C(S^{1})*\cdots *C(S^{1})}_{|E(\Gamma)|-times}, \Delta)$ 重合。此外，我们指出了当上述假设不成立时的若干反例。