Cuntz 代数直和的量子自同构群

在 Joardar 和 Mandal 引入的范畴中，本文探讨了一族有限个 Cuntz 代数 $\{\mathcal{O}_{n_i} \}_{i=1}^{m}$ 直和的量子对称性，将其视为与图 $\{L_{n_i}\}_{i=1}^{m}$（其中 $L_n$ 表示在单顶点上有 $n$ 个环的图）相关联的图 $C^*$-代数。已证明，对于互不相同的 $n_i$，互不同构的 Cuntz 代数直和的量子自同构群为 ${U}_{n_1}^{+}*{U}_{n_2}^{+}* \cdots *{U}_{n_m}^{+}$，即 \begin{equation*} Q_{\tau}^{Lin}(\sqcup_{i=1}^{m} ~ L_{n_i}) \cong *_{i=1}^{m} ~~ Q_{\tau}^{Lin}(L_{n_i}) \cong {U}_{n_1}^{+}*{U}_{n_2}^{+}* \cdots *{U}_{n_m}^{+}, \end{equation*} 其中 $Q_{\tau}^{Lin}(\Gamma)$ 表示与 $\Gamma$ 相关联的图 $C^*$-代数的量子自同构群。此外，$m$ 个同构 Cuntz 代数 $\mathcal{O}_n$ 副本直和的量子自同构群为 $U_n^+ \wr_* S_m^+$，即 \begin{equation*} Q_{\tau}^{Lin}(\sqcup_{i=1}^{m} ~ L_n) \cong Q_{\tau}^{Lin}(L_n) \wr_* S_m^+ \cong U_n^+ \wr_* S_m^+. \end{equation*} 此外，我们提供了反例以证明上述同构不能推广到任意图 $C^*$-代数，而在 Banica 和 Bichon 意义下的图量子自同构群的语境中，类似的关系是可以推广的。