关于图的 Bichon 量子自同构群的一些结果

量子图自同构群的概念由 J. Bichon 于 2003 年和 T. Banica 于 2005 年分别提出。本文主要探讨了 Bichon 框架下图的量子自同构群，记为 $QAut_{Bic}(\Gamma)$。首先，我们给出 Bichon 量子自同构群非交换的充分条件，并讨论了该判据的若干应用。虽然已知 $QAut_{Bic}(\Gamma) \cong QAut_{Bic}(\Gamma^c)$ 不一定成立，但我们识别出一族图，当该同构成立时，说明该图不存在量子对称性。此外，我们描述了若干具有量子对称性的图族，其在 Bichon 意义上的量子自同构群为交换的。最后，我们表明自由积、张量积和自由包围积构造可作为 Bichon 量子自同构群的实现方式，具体而言：对于来自某些图的 Bichon 量子自同构群的有限族紧矩阵量子群 $\{Q_i\}_{i=1}^{m}$，存在连通图 $\Gamma_{free}$、$\Gamma_{ten}$ 和 $\Gamma_{wr}$，其量子自同构群分别为 $*_{i=1}^{m} Q_{i}$、$\otimes_{i=1}^{m} Q_i$ 和 $Q_1 \wr_{*} Q_2$。