具有多项式不变环的非线性群作用与模伽罗瓦扩张的结构定理

设$G$为有限$p$-群，$k$为特征$p>0$的域。我们证明$G$在维数$n=\mathrm{log}_p(|G|)$的多项式环$U$上具有一个\textit{非线性}忠实作用，使得不变环$U^G$也是多项式的。这与具有多项式不变环的\textit{线性且分次}群作用情形形成对比，后者中Chevalley-Shephard-Todd和Serre的经典定理要求$G$由伪反射生成。我们的结果是“迹满射$G$-代数”一般理论的一部分，在$p$-群情形下，该理论与\cite{chr}意义下的伽罗瓦环扩张一致。我们考虑\textit{去齐次对称代数}$D_k$，这是一个具有非线性$G$作用的多项式环，包含$U$作为收缩核，并证明$D_k^G$是多项式环。因此$U$在如下意义上是\textit{普遍的}：每个迹满射$G$-代数都可以通过“取商并扩张不变量”从$U$构造出来。作为推论，我们得到了以给定$p$-群为伽罗瓦群、以任意交换$k$-代数$R$为不变环的伽罗瓦扩张的一般结构定理。这是关于$p^s$次模伽罗瓦域扩张的Artin-Schreier-Witt理论的推广。