非致密作用下的不变性理论：Hilbert 与 Schwarz 定理的扩展

经典不变性理论在紧致和致密 Lie 群上建立了代数与光滑不变量之间的系统对应关系。然而，将这些结果扩展到非紧致和非致密的范畴仍是持续进行的研究课题。本文检讨了在两种特定情境下多项式与光滑不变量代数之间的差异：离散 Lorentz 群 $O(n,1)$ 在 $\mathbb{R}^{n,1}$ 上的作用，以及致密作用在光滑流形上的作用。我们证明对于离散 Lorentz 群，多项式不变量环是 finitely generated 的，但光滑不变量并非由多项式不变量生成。在致密作用的情况下，我们展示了多项式不变环化简为常数，而光滑不变代数是 finitely generated 的，并由商流形的光滑结构决定。这些结果将不变性理论情形分类为四类，确定了 Hilbert--Weyl 定理和 Schwarz 定理的边界，并确立了properness在代数与分析对称描述对齐中的作用。