自守李代数的不变量

自守李代数产生于20世纪70年代末在可积系统领域引入的约化群的语境中。它们是定义在有理函数环上的李代数的子代数，由有限群——约化群——的作用下的不变性所定义。自2005年引入以来，人们一直在追求对其分类。先前的工作表明，与不同约化群相关联的李代数之间存在显著的统一性。即，许多具有非同构约化群的自守李代数是同构的。在本文中，我们通过寻找独立于约化群的性质——即自守李代数的不变量——来追溯这些观察的起源。获得了若干不变量，并用于建立自守李代数的结构理论。这自然地导出了根系的上同调理论。对该结构理论的初步探索显著缩小了自守李代数的搜索范围。各种特例完全由其不变量确定，包括大多数先前研究过的自守李代数，从而为它们的统一性提供了说明。此外，该结构理论推进了分类项目。例如，它阐明了极点轨道的变化如何产生自守李代数的各种新的Cartan-Weyl标准型生成元。从更一般的角度来看，在缺乏域的情况下结构理论和根系上同调的成功，预示着李代数在分次环上的有趣理论发展。