自同构李代数与根系统的上同调

根系统的上同调理论在自同构李代数（Automorphic Lie Algebras）的背景下自然出现，它有助于表述一些结构理论问题。特别地，通过对上闭链积分，可以找到自同构李代数的具体模型。本文中我们定义该上同调并展示其与自同构李代数理论的联系。此外，我们讨论其性质：我们定义杯积（cup product），表明它可限制为对称形式，关于根系统的自同构群是等变的，最后我们展示对称部分在二维的上无环性（acyclicity），而这正是寻找自同构李代数具体模型所需的。进而，我们展示根系统的上同调如何通过应用于李代数的收缩（contractions）与滤子（filtrations）理论，在自同构李代数理论之外找到应用。特别地，我们表明与简单李代数的 Cartan $\mathbb{Z}$-滤子相关的收缩由 $2$-上闭链分类，这同样归因于第二上同调群对称部分的消失。