射影一般线性群PGL_2(GF(2^m))与长度为2^m+1的线性码
信息论
2020-10-20 v1 math.IT
摘要
射影一般线性群PGL_2(GF(2^m))作为3-传递置换群作用于射影线的点集。本文的第一个目标是证明在PGL_2(GF(2^m))下不变的所有GF(2^h)上线性码均为平凡码：重复码、整个空间GF(2^h)^{2^m+1}及其对偶码。作为该结果的应用，确定了在PGL_2(GF(2^m))下不变的所有3-(q+1,k,λ)设计的(0,1)-关联矩阵的2-秩。第二个目标是给出GF(2^m)上的两个无限族循环码，使得任意固定非零重量的所有码字支撑集在PGL_2(GF(2^m))下不变，因此任意非零重量的码字支撑一个3-设计。第一族中的一个码具有参数[q+1,q-3,4]_q，其中q=2^m，且m≥4为偶数。确定了最小重量码字的精确数量，且最小重量码字支撑一个3-(q+1,4,2)设计。第二族中的一个码具有参数[q+1,4,q-4]_q，q=2^m，m≥4为偶数，且最小重量码字支撑一个3-(q+1,q-4,(q-4)(q-5)(q-6)/60)设计，其互补3-(q+1,5,1)设计与具有这些参数的Witt球几何同构。证明了GF(q)上可支撑3-(q+1,q-4,(q-4)(q-5)(q-6)/60)设计的线性码维数的下界，并表明第二族码中最小重量码字支撑的设计达到该下界。
引用
@article{arxiv.2010.09448,
title = {The Projective General Linear Group $\mathrm{PGL}_2(\mathrm{GF}(2^m))$ and Linear Codes of Length $2^m+1$},
author = {Cunsheng Ding and Chunming Tang and Vladimir D. Tonchev},
journal= {arXiv preprint arXiv:2010.09448},
year = {2020}
}