混合字母表环上的线性码及其Gray像在射影码和局部可修复码中的应用

设 $m \geq 2$ 为整数，$\mathbb{F}_q$ 为素数幂阶 $q$ 的有限域。设 $\mathcal{R}=\frac{\mathbb{F}_q[u]}{\langle u^2 \rangle}\times \mathbb{F}_q$ 为混合字母表环，其中 $\frac{\mathbb{F}_q[u]}{\langle u^2 \rangle}$ 是极大理想为 $\langle u\rangle$、幂零指数为2、剩余域为 $\mathbb{F}_q$ 的准Galois环。在本文中，我们构造了四个无限族定义在环 $\frac{\mathbb{F}_q[u]}{\langle u^2 \rangle}$ 上的线性码，其定义集为与 $\mathbb{F}_q^m$ 的三个单形复形相关联的 $\mathcal{R}^m$ 的特定非空子集，每个单形复形具有单一极大元。我们明确确定了这些码的参数和Lee权重分布。我们还研究了它们的Gray像，识别了 $\mathbb{F}_q$ 上的若干无限族少重量码，以及 $\mathbb{F}_q$ 上的一个无限族极小码、近Griesmer码和距离最优码。我们还观察到当 $q=2$ 或 $3$ 时，它们的Gray像是自正交码。我们确定了这些码的生成矩阵。利用这一结果，我们提供了 $\mathbb{F}_q$ 上具有新参数的射影少重量码的两个构造。作为我们新构造的 $\mathbb{F}_q$ 上极小码的应用，我们基于其对偶研究了Massey秘密共享方案的极小访问结构，并确定了这些方案中独裁参与者的数量。最后，我们研究了新构造的射影码的局部性性质，并证明这些码的局部性为2或3。因此，我们获得了四个 $q$ 元局部性为2的无限族局部可修复码（LRC），以及两个二进制局部性为3的无限族LRC。