环 $\mathbb{F}_{p}[u]/\langle u^m-u\rangle$ 上的二次剩余码及其 Gray 像像

设 $m\geq 2$ 为任意自然数，$\mathcal{R}=\mathbb{F}_{p}+u\mathbb{F}_{p}+u^2\mathbb{F}_{p}+\cdots+u^{m-1}\mathbb{F}_{p}$ 为有限非链环，其中 $u^m=u$ 且 $p$ 为模 $(m-1)$ 同余于 $1$ 的素数。在本文中，我们研究环 $\mathcal{R}$ 上的二次剩余码及其扩展。定义了从 $\mathcal{R}$ 到 $\mathbb{F}_{p}^m$ 的 Gray 映射，该映射保持线性码的自对偶性。作为推论，构造了自对偶码、形式自对偶码和自正交码。为了说明这一点，给出了自对偶码、自正交码和形式自对偶码的若干示例。其中，构造了 $\mathbb{F}_{7}$ 上的一个 $[9,3,6]$ 线性码，该码既是自正交码又是近似 MDS 码。具有这些参数的已知最佳线性码（参见 Magma）并非自正交码。