$\mathbb{F}_{p}[u]/\langle u^4-u\rangle$ 上的 $(1-2u^3)$-常循环码与二次剩余码

令 $\mathcal{R}=\mathbb{F}_{p}+u\mathbb{F}_{p}+u^2\mathbb{F}_{p}+u^3\mathbb{F}_{p}$ 且 $u^4=u$ 为一个有限非链环，其中 $p$ 为模 $3$ 同余于 $1$ 的素数。本文研究了环 $\mathcal{R}$ 上的 $(1-2u^3)$-常循环码、其与循环码的等价性，并求其 Gray 像。为了说明这一点，给出了 $p=7$ 时长度为 $2^m$ 以及 $p=19$ 时长度为 $3^m$ 的 $(1-2u^3)$-常循环码的示例。我们还讨论了环 $\mathcal{R}$ 上的二次剩余码及其扩展。定义了从 $\mathcal{R}$ 到 $\mathbb{F}_{p}^4$ 的 Gray 映射，该映射保持自对偶性，并从扩展二次剩余码中给出了 $\mathbb{F}_{p}$ 上的自对偶码和形式自对偶码。