关于环 $\mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$ 上长度为 $p^sn$ 的 $(\alpha+u\beta)$-常循环码

设 $\mathbb{F}_{p^m}$ 为基数 $p^m$ 的有限域，且 $R=\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^2\rangle=\mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$ $(u^2=0)$，其中 $p$ 为奇素数，$m$ 为正整数。对于任意 $\alpha,\beta\in \mathbb{F}_{p^m}^{\times}$，本文旨在表示 $R$ 上长度为 $p^sn$ 的所有不同的 $(\alpha+u\beta)$-常循环码及其对偶码，其中 $s$ 为非负整数，$n$ 为满足 ${\rm gcd}(p,n)=1$ 的正整数。特别地，列出了 $\mathbb{F}_{3}+u\mathbb{F}_3$ 上长度为 $6\cdot 5^t$ 的所有不同的 $(2+u)$-常循环码及其对偶码，其中 $t$ 为正整数。