环 $\mathbb{F}_{2^m}[u]/\langle u^{2\lambda}\rangle$ 上偶长度一类 2 型常循环码的显式表示

设 $\mathbb{F}_{2^m}$ 为基数 $2^m$ 的有限域，$\lambda$ 与 $k$ 为满足 $\lambda,k\geq 2$ 的整数，并记 $R=\mathbb{F}_{2^m}[u]/\langle u^{2\lambda}\rangle$。令 $\delta,\alpha\in \mathbb{F}_{2^m}^{\times}$。对任意奇正整数 $n$，我们给出 $R$ 上长度为 $2^kn$ 的所有互异 $(\delta+\alpha u^2)$-常循环码的显式表示与计数，并提供清晰公式以统计所有这些码的数量。作为推论，我们得出结论：$R$ 上长度为 $2^kn$ 的每一个 $(\delta+\alpha u^2)$-常循环码皆为由剩余类环 $R[x]/\langle x^{2^kn}-(\delta+\alpha u^2)\rangle$ 中至多 $2$ 个多项式生成的理想。