矩阵环类循环码的构造

设 $\mathbb F_2[u]/ \langle u^k \rangle= \mathbb F_2+u\mathbb F_2+u^2\mathbb F_2+\cdots+u^{k-1}\mathbb F_2$，其中 $u^k=0$ 为正整数 $k$，且 $\mathcal{R}=M_4 (\mathbb F_2( u)/ \langle u^k \rangle)$ 为阶为 $4\times4$ 的有限非交换非链矩阵环。本文在所考察的矩阵环 $\mathcal{R}$ 上构造循环码。首先讨论环 $\mathcal{R}$ 的结构，证明其同构于 $( \mathbb F_{16}+ v\mathbb F_{16} + v^2\mathbb F_{16} + v^3\mathbb F_{16}) + u(\mathbb F_{16} + v\mathbb F_{16} + v^2\mathbb F_{16} + v^3\mathbb F_{16}) + u^2(\mathbb F_{16} + v\mathbb F_{16} + v^2\mathbb F_{16}+ v^3\mathbb F_{16}) + \cdots + u^{k-1}(\mathbb F_{16} + v\mathbb F_{16} + v^2\mathbb F_{16} + v^3\mathbb F_{16})$，其中 $v^4=0, u^k=0, u^iv^j=v^ju^i$ 对 $i \in \{1,\dots, k-1\}$ 和 $j \in \{1, 2, 3\}$ 成立。随后建立环 $\mathcal{R}$ 的理想形式及相关循环码。进一步表明这些循环码可写为 $\mathcal{R}[x]/<x^n-1>$ 中 $\mathcal{R}$-子模的直和，并推导循环码基数公式。随后考察所导出循环码的欧几里得与厄米尔共轭。基于 $\mathcal{R}$ 的模同构，我们使用 Bachoc 映射和 Gray 映射，将所导出的循环码映射至 $\mathbb F_{16}$。最后给出若干具有良好参数的线性码实例，支持我们的构造结果，并与文献中若干码进行比较。