$\mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ 上偶数长度自对偶循环码的构造与计数

设 $\mathbb{F}_{2^m}$ 为基数 $2^m$ 的有限域，$R=\mathbb{F}_{2^m}+u\mathbb{F}_{2^m}$ $(u^2=0)$，$s,n$ 为正整数且 $n$ 为奇数。本文给出了有限链环 $R$ 上长度为 $2^sn$ 的每一个自对偶循环码的显式表示，并提供了一种获得所有不同码的计算方法。此外，我们得到了计数所有这些自对偶循环码数量的清晰公式。作为应用，通过从 $R$ 上长度为 $2^sn$ 的自对偶循环码出发，并利用从 $R$ 到 $\mathbb{F}_{2^m}^2$ 保持正交性与距离的 Gray 映射，可获得 $\mathbb{F}_{2^m}$ 上长度为 $2^{s+1}n$ 的自对偶与 $2$-准循环码。