关于 $\mathbb{F}_{2^r}$ 上的欧氏自对偶与厄米自对偶循环码

循环码和自对偶码是编码理论中重要的码类。Jia、Ling和Xing \cite{Jia}以及Kai和Zhu \cite{Kai}证明了：在 $\mathbb{F}_q$ 上长度为 $n$ 的欧氏自对偶循环码存在的充要条件是 $n$ 为偶数且 $q=2^r$，其中 $r$ 为任意正整数。当 $n$ 和 $q$ 为偶数时，总存在一个生成多项式为 $x^{\frac{n}{2}}+1$ 的 $[n, \frac{n}{2}]$ 自对偶循环码，称为\textit{平凡自对偶循环码}。本文中，我们基于 $\mathbb{Z}_{\bar{n}}$ 被 $\mu_{-1}$ 的非平凡分裂 $(Z, X_0, X_1)$ 的存在性，证明了在 $\mathbb{F}_{2^r}$ 上长度为 $n=2^\nu \cdot \bar{n}$（其中 $\bar{n}$ 为奇数）的非平凡自对偶循环码的存在性，其中 $Z, X_0,X_1$ 是模 $\bar{n}$ 的 $2^r$-分圆陪集的并。我们还给出了对每个 $n$ 和 $r$，在 $\mathbb{F}_{2^r}$ 上循环自对偶码的个数公式，用 $X_0$（或 $X_1$）中 $2^r$-分圆陪集的个数表示。我们也研究了厄米自对偶循环码，并展示了与欧氏自对偶循环码类似的性质。即，基于 $\mathbb{Z}_{\bar{n}}$ 被 $\mu_{-2^\ell}$ 的非平凡分裂 $(Z, X_0, X_1)$ 的存在性，在 $\mathbb{F}_{2^{2 \ell}}$ 上非平凡厄米自对偶码的存在性，其中 $Z, X_0,X_1$ 是模 $\bar{n}$ 的 $2^{2 \ell}$-分圆陪集的并。我们还确定了存在非平凡厄米自对偶循环码的长度，以及每个 $n$ 对应的厄米自对偶循环码个数的公式。