循环码通过圆整多项式生成的欧几里得双线性空间

设 $n\ge2$ 为自然数且与 $\mathbb{F}_q$ 的特征数互素，记 $\mathcal{C}_n$ 和 $\mathcal{C}_{n,1}$ 为长度为 $n$ 上的循环码，其分别由第 $n$ 个圆整多项式 $Q_n(x)$ 和 $Q_n(x)Q_1(x)$ 生成。文中 [BHAGAT2025] 确定了代码 $\mathcal{C}_n$ 和 $\mathcal{C}_{n,1}$ 的最小距离，并提出了关于其欧几里得双线性空间最小距离的猜想。本文完整描述了这些双线性空间的结构，从而明确求出它们的最小距离作为 $n$ 的函数。事实上，我们通过证明 $\mathcal{C}_n$ 和 $\mathcal{C}_{n,1}$ 的欧几里得双线性空间的最小距离均等于 $2^{\omega(n)}$ 来解决了文中 [BHAGAT2025] 中的猜想。