某些非主理想群代数中的自对偶阿贝尔码

本文的主要重点是在欧氏内积与 Hermite 内积下，对非主理想群代数 $\mathbb{F}_{2^k}[A\times \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_{2^s}]$ 中自对偶阿贝尔码的完全枚举，其中 $k$ 和 $s$ 为正整数，$A$ 为奇数阶阿贝尔群。基于欧氏与 Hermite 自对偶阿贝尔码的已知刻画，我们证明此类枚举可表示为环 $\mathbb{F}_{2^k}+u\mathbb{F}_{2^k}$（其中 $u^2=0$）的某些 Galois 扩张上长度为 $2^s$ 的循环码数目、欧氏自对偶循环码数目与 Hermite 自对偶循环码数目的适当乘积。随后，给出了关于 $\mathbb{F}_{p^k}+u\mathbb{F}_{p^k}$ 上长度为 $p^s$ 的循环码与自对偶码的刻画和枚举的一般性结果。结合这些结果，最终获得了 $\mathbb{F}_{2^k}[A\times \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_{2^s}]$ 中自对偶阿贝尔码的完全枚举。