满足特定对偶性质的左二面体码的构造与枚举

设 $\mathbb{F}_{q}$ 为含 $q$ 个元素的有限域，并设 $D_{2n}=\langle x,y\mid x^n=1, y^2=1, yxy=x^{n-1}\rangle$ 为 $n$ 阶二面体群。群代数 $\mathbb{F}_{q}[D_{2n}]$ 的左理想被称为 $\mathbb{F}_{q}$ 上长度为 $2n$ 的左二面体码，简称为左 $D_{2n}$-码。设 ${\rm gcd}(n,q)=1$。本文给出了 $\mathbb{F}_{q}$ 上每个左 $D_{2n}$-码的欧氏核(Euclidean hull)的显式表示。在此基础上，我们确定了所有不同的欧氏LCD码和欧氏自正交码，它们是 $\mathbb{F}_{q}$ 上的左 $D_{2n}$-码。特别地，我们分别给出了这两类左 $D_{2n}$-码及自对偶左 $D_{2n}$-码的显式表示与精确枚举。此外，我们给出了一种直接而简单的方法来确定 $\mathbb{F}_{q}$ 上任意左 $D_{2n}$-码的编码器（生成矩阵），并给出若干数值例子以说明我们的应用。