Galois 环 ${\rm GR}(p^2,m)$ 上的左二面体码

设 $D_{2n}=\langle x,y\mid x^n=1, y^2=1, yxy=x^{-1}\rangle$ 为二面体群，$R={\rm GR}(p^2,m)$ 为特征 $p^2$ 且基数为 $p^{2m}$ 的 Galois 环，其中 $p$ 为素数。群环 $R[D_{2n}]$ 的左理想称为 $R$ 上长度为 $2n$ 的左二面体码，简称为 $R$ 上的左 $D_{2n}$-码。本文设 ${\rm gcd}(n,p)=1$。则 $R$ 上的任意左 $D_{2n}$-码均可唯一分解为以内码 ${\cal A}_i$ 和外码 $C_i$ 构造的级联码的直和，其中 ${\cal A}_i$ 是 $R$ 上长度为 $n$ 的循环码，$C_i$ 是 $R$ 的扩域 Galois 环或主理想环上长度为 $2$ 的斜循环码，并且给出了每个外码 $C_i$ 的生成矩阵和基本参数。此外，得到了计算这些码数量的公式，确定了每个左 $D_{2n}$-码的对偶码，并分别给出了 $R$ 上所有的自对偶左 $D_{2n}$-码和自正交左 $D_{2n}$-码。