与高斯和相关的伽罗瓦环$GR(p^2,r)$上的线性码

在Hommons等人([4], 1994)发现若干具有类线性性质的显著非线性二进制码是$Z_4$上线性码的Gray映射的像之后，有限环上的线性码成为编码理论中的热点之一。在本文中我们考虑伽罗瓦环$R=GR(p^2,r)$上的两系列线性码$C(G)$和$\widetilde{C}(G)$，其中$G$是$R^{(s)^*}$的子群且$R^{(s)}=GR(p^2,rs)$。我们给出关于$N_\beta(a)$的一般公式，用$R^{(s)}$上的高斯和表示，对每个$a\in R$，其中$N_\beta(a)$是码字$c_\beta\in C(G) (\beta\in R^{(s)})$的a-分量数目(定理3.1)。我们确定了对于某些特殊$G$的$C(G)$的完整汉明重量分布和$\widetilde{C}(G)$的最小汉明距离(定理3.3和3.4)。我们展示了对于定理3.4给出的特殊$G$，$C(G)$和$\widetilde{C}(G)$中码字的齐次重量的一般公式(定理4.5)。最后我们通过使用Gray映射获得了$\mathbb{F}_{q} \ (q=p^r)$上具有两个汉明距离的一系列非线性码(推论4.6)。