环上码的广义重量与单项理想的不变量的研究

我们为固定长度的 $R$-线性码发展了一套支撑的代数理论，其中 $R$ 为有限交换含幺环。支撑自然诱导出广义重量的概念，并允许将单项理想与码相关联。我们的主要结果表明，在适当假设下，码的广义重量可从其关联单项理想的分次 Betti 数获得。在赋予 Hamming 度量的 $\mathbb{F}_q$-线性码情形，该理想与通过校验矩阵与码相关联的拟阵的 Stanley-Reisner 理想一致。在此特殊情形下，我们恢复了已知结果：即 $\mathbb{F}_q$-线性码的广义重量可从其关联拟阵理想的分子次 Betti 数获得。我们还研究了码中的子码与极小支撑码字，证明了一大类的 $R$-线性码由其极小支撑码字生成。