Stanley-Reisner理想的广义Hamming权与符号幂

众所周知，线性码的第一个广义Hamming权，通常称为该线性码的最小距离，对应于该线性码对偶码的matroid的Stanley-Reisner理想的初始次数。本文的出发点是对这一事实的一个推广——即，matroid的第$r$个广义Hamming权是Stanley-Reisner理想的第$r$个符号幂中平凡单项式的最小次数（在$r$的适当范围内）。我们展示，Stanley-Reisner理想的符号幂中的平凡单项式在后续符号幂中足以描述该Stanley-Reisner理想的所有符号幂。因此，我们以广义Hamming权为标量，提供了Stanley-Reisner理想符号幂初始次数统计的显式表达式。我们方法的一个关键方面是对偶性的深入研究。如果一个matroid及其对偶的广义Hamming权都是次可加的，我们证明了该Stanley-Reisner理想每个符号幂的初始次数有一个简单表达式，这与均匀matroid的表达式 closely mirrors。这具有意想不到的深远影响——我们证明了许多有趣的matroid和码类的广义Hamming权及其对偶都是次可加的，包括稀疏铺路matroid、完美matroid设计、来自Steiner系统的matroid、一次域和平面Reed-Muller码、常数重量码、Griesmer码以及完美码。作为一个应用，我们研究了由Geramita-Harbourne-Migliore-Nagel引入的matroid配置的resurgence和渐近resurgence。特别是，我们显式计算了一个源自完美matroid设计的matroid配置点的渐近resurgence。