多元理想的符号幂

本文研究了多元理想符号幂的分量线性性和 Castelnuovo-Mumford 正则性。在多元理想 I 的情况下，我们 conjectured 每个符号幂 I^{(k)} 是分量线性的且 $$\text{reg}\,I^{(k)}=\text{reg}\,I^k$$ 对所有 $k \ge 1$ 成立。我们证明当 I 没有嵌入关联素理想时，$\text{reg}\,I^{(k)}\ge\text{reg}\,I^k$ 对所有 $k \ge 1$ 成立，例如当 I 为 matroidal 理想时。此外，我们建立了一个关于最小交类型单项式理想符号 Rees 代数 $\mathcal{R}_s(I)$ 的判据，保证每个符号幂 I^{(k)} 拥有线性商，从而对所有 $k\ge1$ 都是分量线性的。通过将我们的判据应用于平方自由 Veronese 理想和某些匹配-多元理想，我们验证了这两个 conjecture。我们证明了任何 matroidal 理想都满足 Conforti-Cornu\'ejols conjecture，并且我们指出 matroidal 理想当且仅当它是由两两无交支持的单项式素理想的乘积时为 packed。此外，我们识别出若干非平方自由多元理想的类，其中普通幂与符号幂相同。因此，我们确认了 transversal 多元理想和主 Borel 理想的 conjectures。最后，我们验证了所有要么在小度数中生成要么在小变量数中的多元理想的 conjectures。