单项理想 v-数的一些结果

本文研究了各种类单项理想的 v-数。首先，我们考察了 v-数与混合积理想 $I$ 的正则性之间的关系，证明 $\mathrm{v}(I) \leq \mathrm{reg}(S/I)$。随后，我们研究了一个关于 v-数的开放猜想：若单项理想 $I$ 的幂次为线性，则对所有 $k \geq 1$，都有 $\mathrm{v}(I^k) = \alpha(I)k - 1.$ 我们证明了如果单项理想 $I$ 的幂次为线性且为齐次的方自由理想且 ($k \geq 1$) 没有嵌入关联素理想，则 $\mathrm{v}(I^k) = \alpha(I)k - 1.$ 我们还得出了关于图的 k 次方的一些结论。此外，我们计算了各种幂次的边理想的 v-数（包括普通幂、方自由幂、象征性幂）。最后，我们提出了一个猜想：单项幂的直线图的 v-数等于方自由幂的 v-数。