单项式理想的幂的自由分解与 Golod 环

设$S = \mathbb{K}[x_1, \dots, x_n]$为域$\mathbb{K}$上的多项式环。在本文中，我们提出了单项式理想的幂具有分量线性性的一个判据。特别地，我们证明了如果一个不含变量的无平方单项式理想$I$的某个幂是分量线性的，那么$I$满足最大公约数（gcd）条件。对于一个不含变量的无平方单项式理想$I$，我们表明，如果对于某个整数$s\geq 1$，理想$I^s$关于某个单项式序具有线性商，则$S/I$是一个 Golod 环。我们还为在单一次数下生成的无平方单项式理想的幂的某些 Betti 数提供了一个下界。