平方自由单项式理想的幂的基座界定

设 $S=K[x_1,\ldots,x_n]$ 为域 $K$ 上 $n$ 个变量的多项式环，$I\subset S$ 为一个平方自由单项式理想。本文关注属于 $S/I^{k}$ 的基座 $\Soc(S/I^{k})$ 的单项式 $u \in S$，即满足 $u \not\in I^{k}$ 且对于 $1 \leq i \leq n$ 有 $ux_{i} \in I^{k}$ 的单项式。我们证明，若单项式 $x_1^{a_1}\cdots x_n^{a_n}$ 属于 $\Soc(S/I^{k})$，则对于所有 $1 \leq i \leq n$ 有 $a_i\leq k-1$。随后，我们讨论了满足 $x_{[n]}^{k-1} \in \Soc(S/I^{k})$ 的平方自由单项式理想 $I \subset S$，其中 $x_{[n]} = x_{1}x_{2}\cdots x_{n}$。此外，我们给出了有限图 $G$（顶点集为 $[n] = \{1, \ldots, n\}$）的组合刻画，使得 $\depth S/(I_{G})^{2}=0$，其中 $I_{G}$ 是 $G$ 的边理想。