无平方单项式理想及其幂的 Green-Lazarsfeld 指标

设 $\mathbb{K}$ 为一个域，$I$ 为多项式环 $\mathbb{K}[x_1, \ldots, x_n]$ 中的无平方单项式理想。Green-Lazarsfeld 指标 $\mathrm{index}(I)$ 计数在 $I$ 的分次极小自由预解中到达由非线性形式极小生成的上同调链所需的步数。本文从组合观点研究 $I$ 及其幂的这一不变量。我们刻画了所有 3 次生成且满足条件 $\mathrm{index}(I)>1$ 的无平方单项式理想 $I$。利用该结果，我们还刻画了所有 3 次生成且满足条件 $\mathrm{index}(I)>1$ 与 $\mathrm{index}(I^2)=1$ 的无平方单项式理想。在 $n\leq5$ 的情形下，我们证明若 $I$ 为任意满足 $\mathrm{index}(I)>1$ 的无平方单项式理想，则对所有 $k$ 均有 $\mathrm{index}(I^k)>1$。