二元单项理想的高次幂的极小生成集

已知对于单项理想 $I$，当 $n$ 增大时，极小生成元的数量 $\mu(I^n)$ 最终会遵循一个多项式模式。通常，关于该模式出现时的幂次知之甚少。关于该幂次之后极小生成元的确切形式则知之更少。设 $s\ge \mu(I)(d^2-1)+1$，其中 $d$ 是一个常数，其上界为 $I$ 的极小生成元集合 $\mathsf{G}(I)$ 中出现的最大 $x$-次数或 $y$-次数。我们证明，对于任意 $\ell \ge 0$，每个更高次幂 $I^{s+\ell}$ 都可以由 $I^s$ 的某些子理想构造而成。这给出了 $\mathsf{G}(I^{s+\ell})$ 关于 $\mathsf{G}(I^s)$ 的显式描述。给定 $\mathsf{G}(I^s)$，这种构造显著降低了确定 $I$ 的更高次幂时的计算复杂度。这进一步使我们能够将所有 $n\ge s$ 的 $\mu(I^n)$ 显式地表示为关于 $n$ 的线性多项式。我们包含了在 SageMath 中附带实现的运行时间测量结果。