单项式理想及其积分闭合的正则性

设 $I$ 为域 $K[x_1,\ldots,x_n]$ 中的一个单项式理想，其中 $n=2$ 或 $3$，设 $\overline{I}$ 为其积分闭合。我们将证明 $\text{reg} (\overline{I}) \le \text{reg} (I)$。进一步地，若 $I$ 由次数为 $d$ 的元素生成，则 $\text{reg} (I)=d$ 当且仅当 $I$ 拥有线性商。