理想的根的正则性与算术度的上界

设 $S$ 是域上 $n$ 个变量的多项式环。设 $I$ 是 $S$ 中由次数至多为 $d$ 的形式生成的齐次理想，且 $\text{dim}(S/I)=r$。在本文的第一部分，我们展示如何由 Hoa 的一个结果导出 $\sqrt{I}$ 的正则性的上界。更具体地，我们证明 $\text{reg}(\sqrt{I})\leq d^{(n-1)2^{r-1}}$。在第二部分，我们证明 $I$ 的第 $r$ 个算术度以上界 $2\cdot d^{2^{n-r-1}}$ 为界。这是通过证明强稳定理想与 Borel 型理想的算术度的上界来完成的。