二维锥状奇点的正规归约数

设 $(A, \mathfrak m)$ 为正规二维局部环，$I$ 为 $\mathfrak m$-准素的整闭理想，且具有极小归约 $Q$。我们计算如下数：$\mathrm{nr}(I) = \min\{n \;|\; \overline{I^{n+1}} = Q\overline{I^n}\}, \quad \bar{r}(I) = \min\{n \;|\; \overline{I^{N+1}} = Q\overline{I^N}, \forall N\ge n\}$，$\mathrm{nr}(A)$ 与 $\bar{r}(A)$，其中 $\mathrm{nr}(A)$（相应地 $\bar{r}(A)$）为对所有 $\mathfrak m$-准素整闭理想 $I\subset A$ 的 $\mathrm{nr}(I)$（相应地 $\bar{r}(I)$）的最大值。我们有 $\bar{r}(A) \le p_g(A) + 1$，其中 $p_g(A)$ 为 $A$ 的几何亏格。本文中，我们给出当 $A$ 为锥状奇点（具有极小分解，其例外集为一条光滑曲线）时 $\bar{r}(A)$ 的上界，并特别证明：若 $A$ 是由 $d$ 次齐次多项式定义的超曲面奇点，则 $\bar{r}(A)= \mathrm{nr}(\mathfrak m) = d-1$。我们还给出一个 $A$ 与 $I$ 的例，使得对每个整数 $g \ge 2$ 均有 $\mathrm{nr}(I) = 1$ 但 $\bar{r}(I)= \bar{r}(A) = p_g(A) +1=g+1$。