二面体码与广义四元数码的对偶性及其在量子码中的应用

设 $\mathbb{F}_q$ 为具有 $q$ 个元素的有限域，其中 $q$ 为某个素数幂，$G$ 为有限群。（左）群码，或简称 $G$-码，是群代数 $\mathbb{F}_q[G]$ 的（左）理想。在本文中，我们通过群代数 $\mathbb{F}_{q^2}[D_n]$ 的合适的 Wedderburn-Artin 分解，对任意 $D_n$-码在 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上的埃尔米特对偶码给出了完整的代数描述，其中 $D_n$ 是阶为 $2n$ 的二面体群，且 $n$ 不被 char$(\mathbb{F}_{q^2})$ 整除，并确定了 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上所有不同的埃尔米特自正交 $D_n$-码。我们还通过群代数 $\mathbb{F}_q[Q_n]$ 的 Wedderburn-Artin 分解，对任意 $Q_n$-码在 $\mathbb{F}_q$ 上的欧几里得对偶码给出了完整的表示，其中 $Q_n$ 是阶为 $4n$ 的广义四元数群，且不被 char$(\mathbb{F}_q)$ 整除。特别地，由于半单群代数 $\mathbb{F}_{q^2}[Q_n]$ 与 $\mathbb{F}_{q^2}[D_{2n}]$ 同构，任意 $Q_n$-码的埃尔米特对偶码也因此被完整描述。作为所计算的埃尔米特对偶性的应用，我们通过群代数的结构给出了量子纠错码的系统构造，实际上我们用这种方法重建了一些已知的量子最优码。