有限域上的常循环与准扭转 Hermite 自对偶码

本文研究了有限域上的常循环和准扭转 Hermite 自对偶码。给出了在 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上分解 $x^n-\lambda$ 的算法，其中 $\lambda$ 是 $\mathbb{F}_{q^2}$ 中的单位元。基于此分解，确定了 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上长度为 $n$ 的 $\lambda$-常循环码的 Hermite 核的维数。通过其 Hermite 核，给出了 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上长度为 $n$ 的常循环 Hermite 自对偶码（及互补对偶码）的刻画与计数。随后，引入了一类新的 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上的 MDS 常循环 Hermite 自对偶码族。作为常循环码的推广，本文还研究了准扭转 Hermite 自对偶码。利用 $x^n-\lambda$ 的分解和中国剩余定理，准扭转码可被视为某些 $\mathbb{F}_{q^2}$ 扩域上较短长度线性码的直积。给出了准扭转码成为 Hermite 自对偶码的充要条件，并确定了此类自对偶码的计数。