有限域上的 Galois 自对偶 2-拟常循环码

设 $F$ 为基数为 $p^\ell$ 的域，$0\neq \lambda\in F$，且 $0\le h<\ell$。作为欧几里得和埃尔米特内积的推广，Fan 和 Zhang 引入了 Galois $p^h$-内积 (DCC, vol.84, pp.473-492)。在本文中，我们刻画了 $F$ 上 $2$-拟 $\lambda$-常循环码的结构；并展示了 $2$-拟 $\lambda$-常循环码成为 Galois 自对偶的充分必要条件。借助本文开发的一项技术，我们证明了：当 $\ell$ 为偶数时，埃尔米特自对偶 $2$-拟 $\lambda$-常循环码渐近最优当且仅当 $\lambda^{1+p^{\ell/2}}=1$。并且，当 $p^\ell\,{\not\equiv}\,3~({\rm mod}~4)$ 时，欧几里得自对偶 $2$-拟 $\lambda$-常循环码渐近最优当且仅当 $\lambda^{2}=1$。