有限域上线性码的 Galois 包

有限域 $\mathbb{F}_q$ 上 $[n,k]$ 线性码 $C$ 的 $\ell$-Galois 包 $h_{\ell}(C)$ 是 $C$ 与 $C^{{\bot}_{\ell}}$ 的交集，其中 $C^{\bot}_{\ell}$ 表示由 Fan 和 Zhang（2017）引入的 $C$ 的 $\ell$-Galois 对偶码。$\ell$-Galois LCD 码是满足 $h_{\ell}(C) = 0$ 的线性码 $C$。在本文中，我们证明线性码的 $\ell$-Galois 包的维数在置换等价下不变，并提供了一种通过码的生成矩阵计算 $\ell$-Galois 包维数的方法。此外，我们得到三元码的 $\ell$-Galois 包的维数在单项等价下也不变。我们证明 $\mathbb F_{q}$ 上的每个 $[n,k]$ 线性码对于任一 $q>4$ 都单项等价于一个 $\ell$-Galois LCD 码。我们得出结论：如果对于任一 $q>4$ 存在 $\mathbb F_{q}$ 上的 $[n,k]$ 线性码，则对于任一 $0\le \ell\le e-1$ 存在具有相同参数的 $\ell$-Galois LCD 码，其中 $q=p^e$ 对某个素数 $p$ 成立。作为一个应用，我们刻画了有限域上矩阵乘积码的 $\ell$-Galois 包。