关于 Galois LCD 码及混合字母上的 LCP 的研究

设 $\mathtt{R}$ 为一个有限交换链环，最大理想为 $\gamma\mathtt{R}$，其零幂指数为 $e\geq 2,$ 且 $\check{\mathtt{R}}=\mathtt{R}/\gamma^{s}\mathtt{R}$ 其中 $s< e$ 为正整数。在本文中，我们研究并刻画了任意块长上的 Galois $\mathtt{R}\check{\mathtt{R}}$-LCD 码。我们证明，每一种弱自由的 $\mathtt{R}\check{\mathtt{R}}$-线性码在 $|\mathtt{R}/\gamma\mathtt{R}|>4$ 时，均等价于一个 Galois $\mathtt{R}\check{\mathtt{R}}$-LCD 码；而当 $|\mathtt{R}/\gamma\mathtt{R}|>3$ 时，则等价于一个欧几里得 $\mathtt{R}\check{\mathtt{R}}$-LCD 码。我们还获得了所有欧几里得和希尔伯特 $\mathtt{R}\check{\mathtt{R}}$-LCD 码的枚举公式。借助这些枚举公式，我们对所有欧几里得 $\mathbb{Z}_4 \mathbb{Z}_{2}$-LCD 码和 $\mathbb{Z}_9 \mathbb{Z}_{3}$-LCD 码，块长为 $(1,1),$ $(1,2),$ $(2,1),$ $(2,2),$ $(3,1)$ 和 $(3,2)$，以及所有希尔伯特 $\frac{\mathbb{F}_{4}[u]}{\langle u^2\rangle} \;\mathbb{F}_{4}$-LCD 码（块长为 $(1,1),$ $(1,2),$ $(2,1)$ 和 $(2,2)$）进行单调等价分类。除此之外，我们研究并刻画了 $\mathtt{R}\check{\mathtt{R}}$-线性码的 LCP。我们进一步研究了使用 $\mathtt{R}\check{\mathtt{R}}$-线性码的 LCP 构建的直接求和掩码方案，并获得其对故障注入和侧信道攻击的安全阈值。我们还讨论了 $\mathtt{R}\check{\mathtt{R}}$-线性码的 LCP 在无噪声两用户加法信道编码中的另一个应用。